فیلم آموزش انتگرال از صفر

فیلم آموزش انتگرال از صفر برای افراد زیر قابل استفاده است:

1. دانشجویان ریاضی عمومی ۱ دانشگاه
2. دانشجویان درس‌های ریاضی ۲، معادلات، ریاضی مهندسی و … که لازم است انتگرال را بلد باشند.
3. داوطلبان کنکور کارشناسی ارشد رشته‌های مختلف
4. شرکت‌کنندگان آزمون‌های استخدامی در رشته‌هایی که ریاضی جزو مواد امتحانی آن‌هاست.

این فیلم آموزش انتگرال به صورت خودآموز تهیه شده است و مفاهیم را از صفر توضیح می‌دهد. فرض این بوده است که شما دوست عزیز می‌خواهید از صفر شروع به یادگیری انتگرال کنید.

برای یادگیری این فیلم نیاز به هیچ پیش‌نیاز خاصی ندارید. اگر در جایی مبحثی مانند مثلثات یا اتحاد پیش بیاید، آن را به طور کامل توضیح داده‌ام لذا نیاز به هیچ‌گونه نگرانی نیست.

مباحث فیلم آموزش انتگرال از صفر

فصل اول: فرمول‌های انتگرال‌گیری

• فرمول‌ها و نکات مهم انتگرال‌گیری

فصل دوم: روش‌های انتگرال‌گیری

• روش تغییر متغیر
• روش جزء به جزء
• روش جدول برای ساده‌تر شدن روش جزء به جزء
• تغییر متغیرهای مثلثاتی

فصل سوم: انتگرال‌گیری از توابع غیرجبری

• انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی – تمام ۹ حالت ممکن
• انتگرال‌گیری از توابع معکوس مثلثاتی
• انتگرال‌گیری از توابع نمایی
• انتگرال‌گیری از توابع لگاریتمی
• انتگرال‌گیری از توابع هذلولوی (هایپربولیک)

فصل چهارم: تعریف انتگرال معین

• تعریف انتگرال ریمان
• دستور لایپ‌نیتز – نیوتن (قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال)
• انتگرال توابع قدرمطلقی
• انتگرال توابع جزء صحیح

فصل پنجم: کاربردهای انتگرال

• محاسبۀ حد‌های مجموع
• محاسبۀ مقدار متوسط تابع روی یک بازه
• محاسبۀ مساحت در حالت‌های مختلف
• محاسبۀ طول کمانی از تابع
• محاسبۀ حجم شکل حاصل از دوران در حالت‌های مختلف

فصل ششم: انتگرال‌های ناسَره (غیرعادی)

• انتگرال‌های ناسره نوع اول
• انتگرال‌های ناسره نوع دوم
• آزمون مقایسۀ برای همگرایی انتگرال
• آزمون مقایسۀ حدی برای همگرایی انتگرال
• آزمون قدرمطلق برای همگرایی انتگرال

روش یادگیری از روی فیلم آموزش انتگرال

من همیشه در طی این سال‌ها یک جمله‌ی ثابت داشته‌ام و ان را به شاگردانم گفته‌ام: کتاب‌های ریاضی را ببندید و بخوانید.

منظور از این جمله این است که ما کتاب‌های ریاضی را از رو نمی‌خوانیم. بلکه آن را مطالعه می‌کنیم.

چه از روی کتاب، چه از روی جزوه‌ی استاد و چه از روی یک فیلم آموزشی، چیزی را در ریاضیات می‌آموزید در کلیت ماجرا فرقی نمی‌کند؛ همیشه مطابق زیر عمل کنید:

همیشه همراه خود قلم و کاغذ داشته باشید. نکات مهم را یادداشت کنید.

هر بار که مثالی حل می‌شود با دقت مراحل را از هم بشکافید. ابتدا چه کاری صورت می‌گیرد. سپس چه کاری رخ می‌دهد و … روش را به شکل یک دستورالعمل مرحله به مرحله روی کاغذ بنویسید.

برای مثال بعدی کتاب را ببنیدید یا فیلم را متوقف کنید و آن مراحل را روی مثال پیاده کنید. فکر کنید و گره‌ها را باز کنید و پیش بروید. کمی روی مسائل فکر کردن طبیعی است. هیچ کس از روز اول مسائل ریاضی را سه سوت حل نکرده است.

بعد از حل مثال، جواب خود را با جواب کتاب یا فیلم مقایسه کنید. اگر درست حل کرده‌اید که خیلی عالی. اگر نه، خوب فکر کنید مشکل کار شما چه بوده است. سعی کنید آن را برای مثال‌های بعدی رفع کنید.

به همین ترتیب برای هر مثال همین روند را طی کنید. تا به تمرین‌های هر بخش برسید. دوباره ابتدا خودتان آن‌ها را حل کنید و سپس جواب‌های خود را با پاسخنامه مقایسه کنید.

دو اشتباه متداول در یادگیری ریاضی

چند نکته هم هست که باید مد نظر داشته باشید. من اینها را از روی تجربه‌ی بیش از ۱۶ سال تدریس ریاضی می‌گویم.

دانش‌آموزان زیادی هستند که فکر می‌کنند یادگیری ریاضی یعنی مسأله‌ای را به محض دیدن صورت مسأله بتوانی حل کنی. و چون در نگاه اول چیزی به ذهنشان خطور نمی‌کند بیخیال کل روند حل مسأله می‌شوند.

این یک فکر اشتباه است. من خودم بارها و بارها برای حل مسأله گیر کرده‌ام. روی آن فکر کرده‌ام. روش‌های مختلف را آزموده‌ام تا توانسته‌ام آن را حل کنم. گاهی ممکن است روی یک مسأله ۵ دقیقه فکر کنید و گاهی ممکن است یک ساعت. ولی نکته‌ی مهم این است که یادگیری ریاضی همین فکر کردن است. اگر دوست دارید جزو آن‌هایی باشید که سر جلسه امتحان بعد از ۴۰ یا ۵۰ دقیقه پاسخ خیلی از سؤالات را داده باشید و با خیال راحت که نمره عالی می‌گیرید از جلسه امتحان بیرون می‌روند، بنابراین قبل از امتحان خوب فکر کنید.

این کار باعث یادگیری عمیق می‌شود. یادگیری عمیق سرعت حل مسأله را در شما زیاد می‌کند.

یک اشتباه دیگر که آن هم زیاد دیده می‌شود این است که بعضی از دانش‌آموزان یا دانشجویان کتاب ریاضی را مانند یک رمان دست می‌گیرند و می‌خوانند. همانطور که گفتم ما با خود کتاب کاری نداریم. یادگیری ریاضی یعنی کاغذ و خودکار و خط خطی کردن تا جایی که راه حل را پیدا کنیم.

من هنوز هم از کاغذ کاهی و خودکار بیک برای حل مسائل ریاضی استفاده می‌کنم.  

آیا یادگیری انتگرال سخت است؟

در مقاله‌ی جداگانه‌ای به این موضوع پرداخته‌ام. می‌توانید آن را جداگانه مطالعه کنید: آیا یادگیری انتگرال واقعا سخت است؟

اما به طور خلاصه عرض کنم: یادگیری انتگرال از خیلی از بخش‌های دیگر ریاضی راحت‌تر است!

دو عامل خیلی مهم در این امر دخیل هستند که دانشجویان و دانش‌آموزان با یادگیری انتگرال مشکل دارند:

1. ذهنیت غلط: چون فکر می‌کنید انتگرال سخت و غیرقابل یادگیری است، این تلقین مقدار زیادی تأثیر خودش را می‌گذارد و در نتیجه یادگیری سخت می‌شود.
2. مبحث انتگرال در قسمت‌هایی از کتاب‌های درسی است که همیشه آخر ترم یا آخر سال تحصیلی نوبت آموزش آن می‌شود. در آن اوقات پر از عجله‌ی آخر ترم یا آخر سال تحصیلی فرصت آموزش درست و حسابی انتگرال نیست.

چه باید کرد؟ وقتی فیلم آموزش انتگرال از صفر را دانلود کردید، می‌توانید چندین و چند بار آن را تماشا کنید. درست مانند اینکه هر وقت که اراده کنید معلم خصوصی در منزل شما حاضر شود و نکات را برای شما تدریس کند.

انتگرال چه کاربردهایی دارد؟

برای اینکه به این سؤال جواب بدهم آن را به دو بخش تقسیم می‌کنم.

• انتگرال در طی آموزش چه کاربردی دارد؟
• انتگرال در پژوهش چه کاربردی دارد؟

الف) انتگرال چه کاربردهایی در مراحل آموزش دارد؟

انتگرال مبحثی است که در سال آخر دبیرستان به طور مقدماتی آموزش داده می‌شود. ولی آموزش مفصل و کامل آن در درس ریاضی ۱ رشته‌های علوم پایه (ریاضی – فیزیک – شیمی – زیست شناسی – زمین شناسی – آمار – علوم کامپیوتر) و رشته‌های فنی و مهندسی ارائه می‌شود.

همچنین در رشته‌های مانند اقتصاد، مدیریت و حسابداری هم مبحث انتگرال در اولین درس ریاضی دانشگاه ارائه می‌شود.

برای گذراندن درس‌های بعدی ریاضی مانند ریاضی ۲، معادلات دیفرانسیل، ریاضی مهندسی و … نیاز داریم که این مبحث را بلد باشیم. چنانچه انتگرال توابع یک متغیره را به خوبی ندانیم، در مباحث بعدی هم دچار مشکل خواهیم بود.

همچنین درس‌های تخصصی دیگری هم در رشته‌های مهندسی و علوم هستند که فهم آن‌ها نیاز به فهم خوبی از انتگرال دارد.

درس‌های ریاضی و غیرریاضی زیادی در مقطع ارشد و دکترا هم هستند که انتگرال یک پیش‌نیاز برای آن‌ها محسوب می‌شود.

ب) انتگرال چه کاربردی در پژوهش دارد؟

در پژوهش‌های شاخه‌های مختلف ریاضی (محض و کاربردی) و همچنین مهندسی، اقتصاد، مدیریت و … انتگرال نقش به سزایی دارد. اکثر دانشجویان فکر می‌کنند که وقتی وارد دوره‌ی دکترا شدند دیگر کاری به ریاضی ترم یک دانشگاه ندارند.

خیلی‌ها هستند که جدی این را می‌پرسند که مگر ریاضیات کاربردی هم دارد؟ انتگرال یکی از مفاهیم ریاضی است که هر جایی سر و کله‌ی آن پیدا می‌شود.

جالب است بدانید که با این همه پیشرفتی که در ریاضیات صورت گرفته، هنوز توابع زیادی هستند که که «تابع اولیه» شناخته شده‌ای ندارند، لذا برای پیش بردن کارهای پژوهشی خود مجبور به انجام روش‌های عددی هستیم.

آنچه در دبیرستان و دوره لیسانس تدریس می‌شود انتگرال مطابق تعریف ریمان – اشتیلیس است. بعدها برای تکمیل این روش تعریف دیگری به نام انتگرال لبگ معرفی شد که آن را در درس آنالیز ریاضی دوره فوق لیسانس تدریس می‌کنند.

این مبحث از ریاضی هنوز جوان و جوشان است. به زودی در باره‌ی تاریخچه انتگرال یک مطلب مفصل خواهم نوشت.

منابع این فیلم

برای تهیه مثال‌های فیلم آموزش انتگرال از صفر از نمونه سؤالهای پایان ترم دانشگاه‌های مختلف کشور استفاده کرده‌ام. همچنین از کتاب‌های زیر هم کمک گرفته‌ام:

1. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی جدید – لوییس لیتهلد – ترجمه علی اکبر عالم زاده
2. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی جدید – جورج توماس و راس فینی – ترجمه مهدی بهزاد و دیگران
3. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی جدید – سیلورمن خاص و عام
4. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی جدید – تام م آپوستل
5. مسائل آنالیز ریاضی – دمیدویچ – ترجمه پرویز شهریاری
6. ریاضی عمومی ۱ – انه گلدی مهمیانی – انتشارات دانشگاه پیام نور
7. ریاضی عمومی ۱ – ایساک مارون – ترجمه خلیل پاریاب

در این پست به مقایسه این کتاب‌ها پرداخته‌ام: مروری بر بهترین کتاب‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال

دیگر محصولات سایت:

• فیلم آموزش ریاضی پایه از صفر
• فیلم آموزش ریاضی ۱ تمام رشته‌های دانشگاهی
• فیلم آموزش ریاضی ۲ تمام رشته‌های مهندسی و علوم
• فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل معمولی تمام رشته‌های مهندسی و علوم
• فیلم آموزش ریاضی مهندسی تمام رشته‌های مهندسی