از صفر تا بینهایت | تقدیم به همۀ عاشقان یادگیری
مقدمه
آیا واقعاً انتگرال سخت است؟ به نظر من خیر! اما دوستانی (چه در بلاگ چه در شبکه‌های اجتماعی) پیام داده‌اند و از اینکه انتگرال را نمی‌آموزند گله کرده‌اند. پاسخ همهی این دوستان را از طریق همان پلت‌فرم‌ها داده‌ایم، اما با توجه به اینکه این مسأله به نوعی دغدغه‌ی عمومی فراگیران ریاضی محسوب می‌شود، لذا بر آن شدیم تا آن را به صورت یک مقاله‌ی جدا با ذکر جزئیات بیشتر در اینجا منتشر کنیم. امید است که مفید باشد.
این مقاله ابتدا در ویرگول منتشر شد. ولی چون نوشته‌هایم را در ویرگول پاک کرده‌ام، تصمیم گرفتم این مقاله را اینجا بازنشر بدهم.
آیا واقعاً انتگرال سخت است؟
آموزش انتگرال در نظام آموزشی ما از بد حادثه در زمانی صورت می‌گیرد که با توجه به شرایط تمام مبحث با عجله تدریس می‌شود. در دوره‌ی پیش‌دانشگاهی (الان سال چهارم) تدریس این مبحث در آخرین ماه سال انجام تحصیلی می‌شود. در ترم یک دانشگاه بعد از اینکه قسمت زیادی از ترم به مباحث مشتق و کاربرد مشتق پرداخته شد، در حالی به مبحث انتگرال می‌رسیم که زمانی تا امتحانات نمانده است. انتگرال یکی از آسان‌ترین مباحث ریاضی است که می‌توان آن را آموخت. در مقایسه با دیگر مباحث ریاضی، معلومات پیش‌نیاز خیلی کمی لازم دارد. و در عین حال کاربردهای فراوانی در مباحث مختلف مهندسی، اقتصاد و آمار دارد. کسی که انتگرال را خوب یاد بگیرد تقریباً تمام درس‌های بعدی ریاضی و مهندسی را نیز به راحتی خواهد آموخت.
حساب دیفرانسیل و انتگرال زبان علم جدید است. هر پدیده‌ای در طبیعت به صورت رابطه‌ای بیان می‌شود که در آن حساب دیفرانسیل و انتگرال زبان بستری محسوب می‌شود.
از لحاظ تاریخی حساب انتگرال قبل از حساب دیفرانسیل کشف شد. اینکه ابتدا حساب دیفرانسیل (مشتق) تدریس می‌شود و سپس حساب انتگرال، فقط یک انتخاب است. در کتاب معروف آپوستل این رویه کنار گذاشته شده و ابتدا حساب انتگرال آموزش داده شده است.
چگونه انتگرال برای بعضی آسان و برای بعضی سخت است؟
از نگاه خیلی از دانش‌آموزان انتگرال مبحث سخت و پیچیده‌ای است که نمی‌شود از آن سردرآورد و از بد حادثه در همه جا حضور دارد. چرا خیلی از دانش آموزان و دانشجویان در این مبحث مشکل دارند؟ شاید بگوئید که:
طبیعتاً ریاضیات سخت است و باید پذیرفت که یادگیری آن هم توأم با رنج و سختی است!
این نوع نظر دادن از بن و پایه اشتباه است. ساختار ذهن بشر، ساختاری منطقی و استدلالی است. دستگاه شناختی بشر به گونه‌ای کار می‌کند که هر چیز ساختار‌مندی را زودتر از مطالب بی‌ارتباط، آشفته و پراکنده خواهد آموخت. هرگاه چیزی در ذهن نظم پیدا کند، آموختنش تسریع می‌شود و به خاطر سپردنش هم، برای مدت زمان طولانی سهل‌تر می‌گردد. کلید حل مسأله در اینجاست که ما نمی‌توانیم حین آموزش ریاضیات، مطالب را در ذهن خود ساختارمند سازیم.
چگونه روند یادگیری را ساختارمند سازیم؟
من همیشه به دانش‌آموزانم گفته‌ام که کتاب‌های ریاضی را ببندید و بخوانید. منظور از این گفته این است که هرگاه در حال یادگیری چیزی هستید، و همین انتگرال را به عنوان مثال در نظر می‌گیریم، بعد از اینکه یک رابطه (به قولی فرمول) را فراگرفتید همان جا کتاب را ببندید و آن را روی کاغذ بنویسید. آیا اجزای مختلف آن رابطه برای شما معنایی دارند؟ آیا حروف لاتین که به عنوان نمادهای ریاضی استفاده شده‌اند برای شما تداعی یک زبان مستقل (زبان ریاضی) را دارند که با آن می‌توانید منظور خود را بیان کنید؟
سعی کنید ریاضیات را به مانند یک زبان بیاموزید. روی رابطه‌ها و و معادلات مکث کنید و آن‌ها را برای خود ترجمه کنید. حروف لاتین و مساوی و نامساوی و … و همه نمادها را به زبان فارسی بیان کنید. برای این کار می‌توانید چندین بار قسمتی از کتاب را بخوانید. فکر کنید و حتی با دوستان خود و معلم خود تبادل نظر داشته باشید.
مثلاً فرمول معروف آینشتاین برای بیان رابطه انرژی و جرم یک جسم؛ ما می‌توانیم خیلی ساده بگوییم E=mc^2! که خوب معنایی از آن تداعی نمی‌شود، و در مقابل می‌توانیم بگوییم میزان انرژی که می‌تواند از هر جسم آزاد شود برابر است جرم جسم ضرب در سرعت نور به توان دو! کدام یک ملموس‌تر است؟
برای ریاضیات هم همین است. رابطه‌ها معنی دارند و با ما صحبت می‌کنند. پیش بروید و با آن رابطه چند مثال حل کنید. هر بار که مثالی را حل کردید راه حل خود را با راه حل کتاب مقایسه کنید. اگر درست حل کرده بودید به سراغ مثال بعدی بروید. اگر اشتباه بود از روی راه حل کتاب خط نبرید! سعی کنید دوباره به مسأله رجوع کرده و آن را حل کنید. اگر چندبار مسأله‌ای را اشتباه حل کنید؛ به شرطی که خوب سعی کرده باشید، ذهن تمرکز بیشتری روی مسأله پیدا می‌کند.
در نظر بگیرد که کلیدی را به قفل در اتاق بزنید و باز نشود. دوباره سعی کنید و دوباره باز نشود. در این صورت تمرکز شما چند برابر می‌شود و تمام کلیدها و خود قفل را چک می‌کنید. حتی فکر خود را متمرکز می‌کنید که شاید جزییاتی از چیزی را یادتان رفته باشد. مثلاً اینکه کسی به شما گفته است که به دلیل قدیمی بودن قفل‌ها آن‌ها را عوض کرده‌اند و … آن حالتی را در نظر بگیرید که خیلی عادی و سهل انگارانه کاری می‌کنید و جواب نمی‌گیرید و سپس بعد از سعی چندباره تمرکزتان چندین برابر می‌شود تا آن مورد را درست پیش ببرید. در آن لحظه‌ای که میزان تمرکز شما بالاست، هر چیزی را که به شما بگویند فراموش نخواهید کرد!
برای ریاضیات هم همین حالت را دارد. با انتگرال کلنجار بروید و سعی کنید آن را حل کنید. چندین بار که سعی کردید، فکر خود را متمرکز کردید و روش‌های مختلف ریاضی را به کار بردید، سپس در صورت دیدن راه حل کتاب می‌توانید چیزهای خیلی بیشتری از چند خط نوشته ریاضی متشکل از حروف لاتین و نمادهای بین آن‌ها بیاموزید. گاهی حتی ممکن است که راه حل شما درست باشد، وقتی به کتاب مراجعه می‌کنید می‌بینید که کتاب با راه حل متفاوتی انتگرال را حل کرده است. در این صورت با مرور راه حل کتاب سعی کنید متوجه تکنیک آن بشوید و سپس خودتان مستقلاً آن را از همان تکنیک کتاب هم حل کنید. یک مسأله فقط از یک روش حل نمی‌شود. می‌توان روش‌های خلاقانه‌ی زیادی برای مسائل ارائه داد. در پس هر راه حل یک تکنیک نهفته است آن را بیاموزید.
با این روش بعد از مدتی هر آنچه در انتگرال آموخته‌اید در شما درونی می‌شود و به صورت ساختارمند در ذهنتان برای همیشه ماندگار می‌شود.
منتظر جزوه‌های آموزشی ما که به صورت موضوعی با شرح و تفصیل کافی و با هدف خودآموز بودن تهیه شده‌اند باشید.
در موضوع آموزش ریاضی این مقاله‌ها را هم بخوانید:
حرف آخر اینکه
اگر تمایل دارید همیشه اولین نفری باشید که از مقاله‌های جدید این سایت مطلع می‌شوید، لطفاً ای‌میل خود را در خبرنامه ما وارد نمایید. یادتان نرود که نظر و دیدگاه خود را در قسمت کامنت‌ها وارد نمایید. پیشاپیش از شما متشکرم.
