از صفر تا بینهایت | تقدیم به همۀ عاشقان یادگیری
روش درست یادگیری ریاضی این است که کتاب ریاضی را ببندید و بخوانید. به این معنی که روخوانی کردن کتاب‌های ریاضی هیچ کمکی به شما نمی‌کند. در مورد فیلم‌های آموزشی هم همین حکم صادق است. فیلم آموزشی، فیلم سینمایی نیست که فقط آن را تماشا کنید.
مهم نیست که منبع آموزشی شما کتاب است یا فیلم، در هر صورت مهم‌ترین ابزار شما در یادگیری ریاضی قلم و کاغذ است؛ پس لازم است ابتدا فکر کردن روی کاغذ را یاد بگیرید.
مهم‌ترین هدف این مقاله همین است که فکر کردن روی کاغذ را به شما بیاموزد. بنابراین در انتهای این مقاله شما قادر خواهید بود به کمک کتاب یا فیلم، ریاضی را در خانه بیاموزید.
تجربه به من ثابت کرده است که همۀ افراد توانایی یادگیری ریاضیات را دارند؛ به شرط آن که از روش و منابع درست استفاده کنند.
این مقاله ارتباط محتوایی زیادی با دو مقالۀ زیر دارد:
توصیه می‌کنم دو مقالۀ بالا را هم بعد از خواندن این مقاله مطالعه بفرمایید.
لطفاً به این نکته توجه کنید
چه در یک کلاس آموزشی (مدرسه، دانشگاه یا هر چه) شرکت کنید چه در هیچ کلاسی شرکت نکنید و بخواهید به صورت خودآموز ریاضیات را یاد بگیرید، در هر صورت این مقاله برای شما مفید است. لطفاً آن را تا انتها بخوانید.
روش درست یادگیری ریاضی
به تعریف‌ها اهمیت بدهید
هر بار که یادگیری بحثی در ریاضیات را شروع می‌کنید، اولین چیزی که با آن روبه‌رو خواهید شد «تعریف» است. مثلاً اگر بخواهید مبحث چندجمله‌ای‌ها را یاد بگیرید اولین چیزهایی که با آن روبه‌رو خواهید شد تعریف‌های «یک‌جمله‌ای» و «تشابه دو یک‌جمله‌ای» است.
مهم‌ترین کاری که باید انجام دهید این است ابتدا قلم و کاغذی مهیا کنید و هر بار که تعریفی را می‌خوانید به تمام قسمت‌های آن دقت کنید. تعریف‌ها در ریاضیات برای این نیست که آن‌ها را (که معمولاً دو جمله یا سه جمله توضیحات دارند) حفظ کنید. تعریف‌ها دو چیز مهم را به ما یاد می‌دهند:
- آشنایی با یک چیز جدید و دانستن فرق آن با چیزهای دیگری که در ریاضیات آموخته‌ایم. مثلاً ماتریس، بردار، تابع و … چه هستند.
- دانستن اینکه عمل خاصی چگونه انجام می‌شود. مثلاً جمع ماتریس‌ها چطور انجام می‌شود یا اشتراک گرفتن مجموعه‌ها چگونه صورت می‌گیرد.
بنابراین وقتی در ریاضیات با یک تعریف مواجه می‌شوید اصطلاح به اصطلاح آن را با دقت بخوانید و سپس با ساختن یکی دو مثال ساده روی کاغذ، سعی کنید مفهوم دقیق تعریف را دریابید.
مثلاً تعریف یک جمله‌ای این چنین ذکر شده است:
یک جمله‌ای بر حسب x به صورت axn تعریف می‌شود که در آن a یک عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی است. a را ضریب عددی می‌گویند.
حالا روش درست برخورد با این تعریف این است که جزء به جزء آن را تحلیل کنید. به این ترتیب (مثلاً موارد زیر را شما روی کاغذ نوشته‌اید و تعریف بالا را تحلیل کرده‌اید):
- وقتی می‌گوید یک‌جمله‌ای بر حسب x یعنی متغیر ما x است و اگر قرار باشد عددگذاری صورت بگیرد باید به جای x قرار بگیرد.
- وقتی می‌گوید a ضریب عددی نام دارد و یک عدد حقیقی است یعنی می‌توانیم تمام اعداد حقیقی را به عنوان ضریب پشت x به کار ببریم.
- وقتی می‌گوید n یک عدد طبیعی است یعنی فقط اعدادی مانند ۱، ۲، ۳، ۴، … در توان قرار می‌گیرند. پس اگر توان عددی طبیعی نبود عبارتی که داریم یک‌جمله‌ای نخواهد بود.
برای تحلیل این موارد باید همه چیز را روی کاغذ بنویسید. همانطور که بالاتر گفتم روش درست یادگیری ریاضی روی کاغذ فکر کردن است. بزرگترین گام برای موفقیت در ریاضیات همین است که با قلم و کاغذ کار کنید. برای خود مثال درست کنید. به جای ضریب (a) و توان (n) مطابق شرط‌هایی که در تعریف گفته شده است اعداد مختلف را قرار دهید تا متوجه شوید در ریاضیات دقیقاً به چه چیزی یک‌جمله‌ای می‌گویند.
بعد از هر تعریف ممکن است چند مثال ذکر شود تا آن تعریف برای مخاطب روشن شود، و بعد از آن یکی دو تعریف دیگر ذکر شده باشد. در مثالی که ما در این مقاله بررسی میکنیم (یعنی بحث یک‌جمله‌ای‌ها) بعد از تعریف اول معمولاً تعریف دومی گفته می‌شود به نام «تشابه یک‌جمله‌ای‌ها»:
دو یک‌جمله‌ای را متشابه گوییم هر گاه متغیرها و توان‌های متناظر آن‌ها یکسان باشد.
این تعریف را اینگونه برای خود تحلیل کنید:
«در این تعریف از متغیر و توان صحبت کرده است ولی چیزی از ضریب نگفته است. پس ضریب مهم نیست. برای مقایسۀ دو یک‌جمله‌ای به توان‌ها و متغیرهای آن‌ها توجه میکنیم.»
حالا به یک‌جمله‌ای‌هایی که قبلاً برای تعریف اولی روی کاغذ نوشته‌اید دقت کنید. آیا هیچ‌کدام از آن‌ها متشابه هستند؟ در کنار آن‌ها، سعی کنید چند یک‌جمله‌ای جدید بنویسید که با هم متشابه باشند. همچنین سعی کنید چند یک‌جمله‌ای بنویسید که متشابه نباشند و دلیل متشابه نبودن آن را برای خود توضیح بدهید.
از کنار هیچ مثالی به سادگی عبور نکنید
بعد از این دو تعریف، عمل جمع و تفریق روی یک‌جمله‌ای‌ها تعریف می‌شود. بعد از آن هم طبیعتاً چند مثال ذکر می‌شود. کاری که در این مرحله انجام می‌دهید این است که ابتدا مثال را روی کاغذ بنویسید و کتاب را ببندید. بعد سعی کنید خودتان آن مثال را حل کنید. وقتی مثال را حل کردید، کتاب را باز کنید و پاسخ خود را با پاسخ کتاب مقایسه کنید. آیا مثال را درست حل کرده‌اید؟ اگر بله سراغ مثال بعدی بروید. اگر مثال را درست حل نکرده‌اید، در این صورت یک بار با دقت راه حل کتاب را بخوانید و سعی کنید اشتباه خود را پیدا کنید. وقتی به اشتباه خود پی بردید، دوباره مثال را حل کنید ولی نه با حفظ کردن روش کتاب! بلکه با فکر کردن به اینکه هر بار انجام چه عملی درست است.
فرقی نمی‌کند که منبع آموزشی شما یک کتاب باشد یا یک فیلم آموزشی. با فیلم آموزشی هم همین رفتار را تکرار می‌کنید. با این تفاوت که به جای بستن کتاب، فیلم را متوقف می‌کنید.
این روند برای هر کس سرعت خاص خودش را دارد و نمی‌شود گفت که چقدر زمان لازم است تا فردی مبحث خاصی را در ریاضیات بیاموزد. شاید کسی یک ماه زمان لازم دارد تا مبحث خاصی را یاد بگیرید و کسی هم هست که همان مبحث را یک هفته‌ای می‌آموزد. مهم این است که یادگیری ریاضیات یک روند آهسته و مبتنی بر کاغذ و قلم و نوشتن است.
دو نکتۀ خیلی مهم دربارۀ روش درست یادگیری ریاضی
یک) هیچ مسأله‌ای را به دلیل ساده بودن رها نکنید
یادگیری هر مبحث ریاضی را از ساده‌ترین مثال‌های آن شروع کنید. هر مثالی هدف خاص خودش را دنبال می‌کند. پشت هر مثال یک نکته پنهان است. وقتی مثالی یا مسأله‌ای را فقط به این دلیل که فکر می‌کنید ساده است و حل آن به شما چیزی نخواهد آموخت رها می‌کنید، در واقع نکتۀ پنهان آن مسأله را هم نمی‌آموزید. مگر یک مسألۀ سخت ریاضی چیست؟ یک مسألۀ سخت ریاضی، مسأله‌ای است که برای حل آن به جای یک نکته باید چند نکته را بلد باشیم. همان نکاتی که پشت آن مثال‌های ساده پنهان بود و ما از کنار آن‌ها گذشتیم.
دو) فراموش کنید تا یاد بگیرید!
ابتدا برای یادگیری یک مبحث با حوصله و با دقت پیس بروید. مهم زمانی نیست که می‌گذارید، مهم چیزهایی است که هر روز یاد می‌گیرید. ولی حتماً روزی بین یک تا دو ساعت وقت بگذارید. وقتی مبحثی تمام شد، سراغ مبحث بعدی و بعدی و بعدی بروید تا کتاب یا فیلم آموزشی تمام شود.
بعد از آن سراغ درس‌های دیگر بروید، مثلاً شیمی یا فیزیک یا هر چیز دیگری.
وقتی به اندازه کافی مثلاً ۳ ماه گذشت برگردید و مثال‌های آن بخش از ریاضی را که یادگرفته بودید را حل کنید. از ابتدای کتاب یا فیلم شروع به یادگیری مجدد نکنید. فقط مثال‌ها را حل کنید. اگر خیلی چیزها را فراموش کرده بودید نه تنها نباید ناراحت شوید، بلکه برعکس، خیلی هم خوشحال باشید. چرا؟ چون وقتی بعد از فراموش کردن چیزی دوباره آن را یاد می‌گیریم، یادگیری ما عمیق‌تر و همیشگی خواهد بود.
یک بار دیگر، اما این بار سریع‌تر، کل مباحث را بیاموزید. باز هم همان روند کاغذ و قلم و حل مسأله و تمام جزییاتی که در بالا توضیح دادم را تکرار کنید. طبیعتاً این بار در زمان کوتاه‌تری یادگیری خود را به اتمام می‌رسانید. ولی دلیل هم نمی‌شود که عجله کنید.
اشتباه ما این است که وقتی موضوعی را فراموش میکنیم ناراحت و سرخورده می‌شویم. در صورتی که کارکرد طبیعی مغز همین است. اگر قرار بود هر چیزی را با یک بار شنیدن و خواندن یادبگیریم و هیچ‌وقت فراموش نکنیم، خیلی زود دچار دیوانگی می‌شدیم. مغز برای حفاظت از ما یک مکانیسم دفاعی دارد به نام فراموشی. از نظر مغز وقتی چیزی تکرار نمی‌شود شایستۀ فراموشی است. همۀ افراد برای یادگیری عمیق هر چیزی چند بار و با فاصلۀ زمانی آن را تکرار می‌کنند. فقط نکته این است که باید ابتدا مطمئن شوید چیزی را فراموش کرده‌اید بعد مرتبۀ دوم یادگیری را شروع کنید.
این نکته که یادگیری مجدد مبحثی بعد از فراموشی آن باعث یادگیری عمیق و همیشگی می‌شود فوت کوزه‌گری است که خیلی‌ها نمی‌دانند.
تجربۀ ۲۰ سالۀ من در تدریس
چیزی که در این ۲۰ سال (من از سال ۸۱ تدریس می‌کنم) به من ثابت شده است این است که اگر برای یادگیری ریاضیات پایه حتی اگر یک سال هم وقت بگذارید و در این یک سال، روزی ۲ یا ۳ ساعت به آموختن آن مشغول باشید باز هم ضرر نکرده‌اید. چون که وقتی ریاضیات پایه را به خوبی یاد می‌گیرید، سرعت یادگیری شما در بقیۀ مباحث ریاضی مثل حد، مشتق، انتگرال و … خیلی بیشتر خواهد بود. بنابراین زیربنای کار خود را درست بنا کنید.
نترسید دیر نمی‌شود. هیچ وقت دیر نمی‌شود. شما فقط کارتان را با دقت و کیفیت عالی به سرانجام برسانید. یادتان باشد که در مسابقۀ خرگوش و لاک‌پشت، برندۀ مسابقه لاک‌پشت بود.
پس زنده باد فراموشی! زنده باد کار مداوم! زنده باد تکرار و تمرین دوباره و چندباره! زنده باد تمرین حل کردن! زنده باد کاغذ و قلم و نوشتن زیاد! زنده باد اشتباه کردن!
در همین زمینه:
- دانلود بستۀ آموزش ریاضی پایه از صفر
- کلیشه‌های فکری غلط دربارۀ ریاضیات
- ۸ دلیل اینکه چرا ریاضی یاد نمی‌گیریم
Image by cookie_studio on Freepik
“You must not fool yourself, and you are the easiest person to fool.”
کلا در مبحث ریاضی صادقه
فکر میکنیم با نگاه کردن و خواندن ویا به اصطلاح حل در مغزمون بلدیم
ولی اینا کلا اشتباهه و مغزمون داره مارو گول میزنه که انرژی اضافی مصرف نکنیم و …
در کل بهتره هوشیار بود